ФункціопедіЯ
Задачі минулих століть, пов'язані з поняттям функції
Задача Лейбніца про трактрису
Нехай по осі абсцис біжить собака, а її господар (що спочатку знаходився на осі ординат) біжить за нею так, що повідець весь час натягнутий. В цьому випадку повідець буде направлений по дотичній до шляху господаря. Потрібно знайти, по якій лінії біжить господар собаки.
Розв’язання
Цю криву називають трактрисою. Через півтора сторіччя після її відкриття вона зіграла роль в утвердженні неевклідової геометрії Лобачевського: якщо повернути трактрису навколо осі абсцис, то на отриманій поверхні обертання виконуватиметься геометрія Лобачевського.
Гармати та вчені
Траєкторією снарядів цікавилися багато вчених. Особливий інтерес виник з моменту винаходу пороху (в XIII столітті). Жодна фортеця того часу не могла довго витримати артилерійський вогонь. Спочатку застосовували лише настильный вогонь, а це не давало можливості розташовувати артилеристів в укріпленні за горбом. Лише пізніше здогадалися застосовувати навісний вогонь, що дозволяє стріляти через укриття. Щоб забезпечити прицільність навісного вогню, потрібно було вивчити рух тіла, кинутого під кутом до горизонту. Учені довели, що тіло рухається по параболі.
Якщо при заданій початковій швидкості снаряда змінювати кут, то вийде нескінченна безліч парабол. Всі параболи, для яких 45°, торкаються однієї і тієї ж лінії, яка називається параболою безпеки. Якщо точка N знаходиться зовні обмеженої нею області, то при початковій швидкості v снаряд не потрапить в N ні при якому куті нахилу.
Оптичні властивості
параболічних дзеркал
За легендою, Архімед побудував увігнуті дзеркала та з їх допомогою спалив римські кораблі. Більшість вчених відкидає цю легенду, оскільки такі дзеркала повинні були б мати дуже великі розміри, а це неможливо при тодішньому рівні техніки.
Але якщо навіть історія про спалювання кораблів легендарна, то все-таки спалити римський флот за допомогою параболічних дзеркал можливо. Результати,
отримані Архімедом, ґрунтувалися на наступному твердженні: будь-яка пряма, паралельна осі симетрії параболи, після віддзеркалення від параболи проходить через її фокус. Цю ж властивість параболи можна сформулювати і так: дотичну до будь-якої точки параболи ділить пополам кут між прямою, що сполучає точку дотику з фокусом, і перпендикуляром, опущеним з цієї точки на директрису.
Для того, щоб побудувати дзеркало, що збирає сонячне проміння в одній точці, потрібно відшліфувати його по параболоїду обертання - поверхні, що одержується при обертанні параболи навколо її осі. Якщо направити таке параболічне дзеркало на Сонце, то все відображене проміння пройде через фокус параболи, і температура в ньому виявиться настільки великою, що за допомогою сонячного проміння можна буде закип'ятити воду, розплавити свинець і т.д. Звідси відбувається і сама назва «фокус», що по-латині означає «вогнище».